ریاضی نهم صفحه 83 - کاردرکلاس 1
۱ـ حاصل عبارتهای زیر را با توجه به اتحاد مربع دو جملهای به دست آورید.
الف) $$(2x+1)^2 =$$
ب) $$(4a+3b)^2 =$$
ج) $$(x^2 - \frac{1}{2})^2 =$$
د) $$(2xy - \frac{1}{2}x^3)^2 =$$
هـ) $$(\sqrt{2} + 3\sqrt{3})^2 =$$
و) $$(5 - 2\sqrt{2})^2 =$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه 83 - کاردرکلاس 1
برای حل این تمرینات از **اتحاد مربع دو جملهای** استفاده میکنیم. فرمول کلی این اتحاد به صورت $$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$$ است که در آن $$a$$ جمله اول و $$b$$ جمله دوم میباشد.
* **الف) $$(2x+1)^2$$**:
جمله اول $$2x$$ و جمله دوم $$1$$ است.
$$ (2x)^2 + 2(2x)(1) + (1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 $$
* **ب) $$(4a+3b)^2$$**:
جمله اول $$4a$$ و جمله دوم $$3b$$ است.
$$ (4a)^2 + 2(4a)(3b) + (3b)^2 = 16a^2 + 24ab + 9b^2 $$
* **ج) $$(x^2 - \frac{1}{2})^2$$**:
در اینجا بین دو جمله علامت منفی داریم، پس علامت جمله وسط منفی میشود.
$$ (x^2)^2 - 2(x^2)(\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2})^2 = x^4 - x^2 + \frac{1}{4} $$
* **د) $$(2xy - \frac{1}{2}x^3)^2$$**:
$$ (2xy)^2 - 2(2xy)(\frac{1}{2}x^3) + (\frac{1}{2}x^3)^2 = 4x^2y^2 - 2x^4y + \frac{1}{4}x^6 $$
* **هـ) $$(\sqrt{2} + 3\sqrt{3})^2$$**:
$$ (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(3\sqrt{3}) + (3\sqrt{3})^2 = 2 + 6\sqrt{6} + (9 \times 3) = 2 + 6\sqrt{6} + 27 = 29 + 6\sqrt{6} $$
* **و) $$(5 - 2\sqrt{2})^2$$**:
$$ 5^2 - 2(5)(2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2 = 25 - 20\sqrt{2} + (4 \times 2) = 25 - 20\sqrt{2} + 8 = 33 - 20\sqrt{2} $$
ریاضی نهم صفحه 83 - کاردرکلاس 2
۲ـ جاهای خالی را با توجه به نمونه پُر کنید.
$$( \dots + 3b^2)^2 = 4a^2 + \dots + 9b^4$$
جمله اول: $$2a$$ ، جمله دوم: $$3b^2$$
مربع جمله اول: $$4a^2 = (2a)^2 \Rightarrow$$ جمله اول $$= 2a$$
دو برابر حاصلضرب جملهها: $$2(2a)(3b^2) = 12ab^2$$
در نتیجه داریم: $$(2a+3b^2)^2 = 4a^2 + 12ab^2 + 9b^4$$
الف) $$(1+b)^2 =$$
ب) $$(xy - \frac{1}{2})^2 = \dots - \dots + \frac{1}{4}$$
ج) $$(\dots - \dots)^2 = x^4 - \dots + \frac{1}{x^4} \quad (x \neq 0)$$
د) $$(\dots - \dots)^2 = 36x^2 - 12xy + \dots$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه 83 - کاردرکلاس 2
در این تمرین باید با داشتن بخشی از اتحاد، جملات مجهول را پیدا کنیم. این کار مثل حل یک پازل بر اساس الگوی **مربع دو جملهای** است.
* **الف) $$(1+b)^2$$**:
جمله اول $$1$$ و دوم $$b$$ است.
$$ 1^2 + 2(1)(b) + b^2 = 1 + 2b + b^2 $$
* **ب) $$(xy - \frac{1}{2})^2$$**:
مربع جمله اول: $$(xy)^2 = x^2y^2$$.
دو برابر حاصلضرب: $$2(xy)(\frac{1}{2}) = xy$$.
حاصل: $$x^2y^2 - xy + \frac{1}{4}$$.
* **ج) $$(\dots - \dots)^2 = x^4 - \dots + \frac{1}{x^4}$$**:
جمله اول باید جذری از $$x^4$$ باشد، پس جمله اول $$x^2$$ است.
جمله دوم جذری از $$\frac{1}{x^4}$$ است، پس جمله دوم $$\frac{1}{x^2}$$ است.
جمله وسط: $$2(x^2)(\frac{1}{x^2}) = 2$$.
عبارت کامل: $$(x^2 - \frac{1}{x^2})^2 = x^4 - 2 + \frac{1}{x^4}$$.
* **د) $$(\dots - \dots)^2 = 36x^2 - 12xy + \dots$$**:
جمله اول جذری از $$36x^2$$ است، پس جمله اول $$6x$$ است.
جمله وسط $$12xy$$ است. میدانیم $$2 \times (6x) \times (\text{جمله دوم}) = 12xy$$. پس جمله دوم باید $$y$$ باشد.
مربع جمله دوم: $$y^2$$.
عبارت کامل: $$(6x - y)^2 = 36x^2 - 12xy + y^2$$.
